对于 The Moreau Decomposition Property of Proximal Operators，首先给出其描述如下：
给定 proximal operator
$$ \mathrm{prox}_{h}(x)=\mathop{\mathrm{argmin}}_\limits{u}\ h(u)+\frac12\lVert u-x \rVert^2_2, $$ 相应 Moreau decomposition property 为
$$
x=\mathrm{prox}_{h}+\mathrm{prox}_{ h^{ \ast }}(x),
$$
其中 $h^\ast$ 为 $h$ 的共轭函数，即
$$ h^\ast(x) = \sup_{u\in \mathrm{dom}(h)}{<u,x>-h(u)} $$
相应给出其证明如下：
定义 $u=\mathrm{prox}_h(x)$ 和 $v = x-u$。
由邻近算子的定义，可知：
$$
x-u\in\partial h(u),
$$
故 $v\in\partial h(u)$。下面只需说明 $u=x-v\in\partial h^\ast(v)$，结论$v=\mathrm{prox}_{h^\ast}(x)$ 即成立。
下面说明 $u=x-v\in\partial h^\ast(v)$，证明过程参考：https://math.stackexchange.com/questions/693687/proof-of-the-moreau-decomposition-property-of-proximal-operators
假设 $v\in\partial h(u)$，则有
$$ h(x)\geqslant h(u)+<v,x-u>\quad \text{for all }x,\tag{1}\label{1} $$
从而在 $u$ 处存在给定斜率 $v$ 的函数 $h$ 的 affine minorant。
进一步，若存在给定斜率 $v$ 的函数 $h$ 的 affine minorant，则由
$$ \begin{aligned} &\qquad\quad h(x)\geqslant <v,x>-\alpha\quad \text{for all }x\\ &\iff \alpha\geqslant<v,x>-h(x) \quad \text{for all }x \\ &\iff \alpha \geqslant \sup_{x}<v,x>-h(x) \\ & \iff \alpha \geqslant h^\ast(v), \end{aligned} $$
知$\alpha(x)=<v,x>-h^\ast(v)$为给定斜率 $v$ 的函数 $h$ 的 affine minorant，同时$h(u)\geqslant \alpha(u)$。
此外，由\eqref{1}可知，$\alpha(x)\geqslant h(u)+<v,x-u>$，从而$\alpha(u)\geqslant h(u)+<v,u-u>$，故而有
$$ \begin{aligned} h^\ast(v) &= <u,v>-h(u)\\ &= <u,v>-h^{\ast\ast}(u) \end{aligned}$$。
结合上述论证，同理可知$<u,v>-h^{\ast\ast}(u)$为$h^\ast$的一个affine minorant。故而有
$$ u\in\partial h^\ast(v). $$