/tags/mathematical-technique/ Recent content in Mathematical Technique on The Personal Website of Myosotics Hugo -- gohugo.io en-US Fri, 16 Aug 2024 00:00:00 +0000 /blog/2024-08-16-the-moreau-decomposition-property-of-proximal-operators/ Fri, 16 Aug 2024 00:00:00 +0000 /blog/2024-08-16-the-moreau-decomposition-property-of-proximal-operators/ 对于 The Moreau Decomposition Property of Proximal Operators，首先给出其描述如下： 给定 proximal operator $$ \mathrm{prox}_{h}(x)=\mathop{\mathrm{argmin}}_\limits{u}\ h(u)+\frac12\lVert u-x \rVert^2_2, $$ 相应 Moreau decomposition property 为 $$ x=\mathrm{prox}_{h}+\mathrm{prox}_{ h^{ \ast }}(x), $$ 其中 $h^\ast$ 为 $h$ 的共轭函数，即 $$ h^\ast(x) = \sup_{u\in \mathrm{dom}(h)}{<u,x>-h(u)} $$ 相应给出其证明如下： 定义 $u=\mathrm{prox}_h(x)$ 和 $v = x-u$。 由邻近算子的定义，可知： $$ x-u\in\partial h(u), $$ 故 $v\in\partial h(u)$。下面只需说明 $u=x-v\in\partial h^\ast(v)$，结论$v=\mathrm{prox}_{h^\ast}(x)$ 即成立。 下面说明 $u=x-v\in\partial h^\ast(v)$，证明过程参考：https://math.stackexchange.com/questions/693687/proof-of-the-moreau-decomposition-property-of-proximal-operators 假设 $v\in\partial h(u)$，则有 $$ h(x)\geqslant h(u)+<v,x-u>\quad \text{for all }x,\tag{1}\label{1} $$ 从而在 $u$ 处存在给定斜率 $v$ 的函数 $h$ 的 affine minorant。